什么是十二平均律？
要想知道什么是十二平均律，必须先解决一个问题，就是什么是三分损益律？解决三分损益律，则需要了解一部古籍，叫《管子》。在《管子·地员篇》中，对三分损益率的解释如下：“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有，三分而去其乘，适足以是生商。有三分而复于其所，以是成羽。有三分去其乘，适足以是成角。”这个解释是非常简单的。一而三之，就是用一除以三，即三分之一。四开就是除四次。以合九九就是会合于九九之数，即81。这个81就是宫音。三分而益之以一，就是乘以三分之四，三分去其乘就是乘以三分之二。按照这个顺序开始算，81乘以三分之四得108，就是徵。108乘以三分之二得72，就是商。72乘以三分之四得96就是羽。96乘三分之二得64就是角。那么这些数字有何意义呢？
我们知道，所谓的音高不同就是声音在空气中所震动的频率不同，那么音乐演奏时，相邻的两个音的频率自然也就不同，相同的话，就成了一个音高。可是频率是无限的，音高必须是有限的。那么，相邻的两个音之间的频率应该以相隔多少为标准才合适呢？用音乐术语说，就是音程之间的长度应该是多少才对？不搞清楚这些，就没有办法制造乐器。这个事情放在弦乐中，比较好理解。在琴弦长度是2:1的关系时，声音是最和谐的，这就是一个八度。可是，一个八度是缺乏变化的，不可能音程之间都是八度关系。比八度相对不和谐的是五度。五度在琴弦长度中的比值关系是2:3。明白了《管子》为什么三分益一、三分损一了吧？就是以五度的比值作为律素来造律的。按照《管子》的记载，宫商角徵羽排列下来的比例关系，实际上是81，72，64，54（108除以2），48（96除以2）。这就是五个音之间的比数关系，由此可知音高的位置。
但是，到此为止，还有两个问题需要简单说明。第一，以上生出来的宫、商、角、徵、羽，实际上是五个“声”，而不是五个“律”。“声”和“律”是不一样的。“声”就是单个音高，这个“声”是人们在音乐的实践中产生的，比如农民唱民歌，他们不懂律制，可是也可以唱，那个是实践中的“声”。而“律”一定是计算过的，也就是《大戴礼记·天圆篇》所说的“圣人截十二管，以定八音上下清浊，谓之律。”宫、商、角、徵、羽实际上是“声”，黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、中吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟才是“律”。用音乐术语说，就是“声”是音级与阶名，而“律”是音高标准及其关系。所以，《管子》所说定的宫、商、角、徵、羽是“声”。而《大戴礼记》所说的“圣人截十二管”定的律是黄钟大吕之类。二者听着似乎是一回事，其实不完全一样。
第二，一般音乐生通常认为毕达哥拉斯的五度相生率就是《管子》中的“三分损益律”，其实二者还是不完全一样的，毕达哥拉斯用的是两个律素，《管子》用的是一个律素。三分损益律损一的时候，向上生纯五度的音，益一的时候向下生纯四度的音，而向下纯四度实际上就是向上纯五度的低八度形式，所以是单向生律。毕达哥拉斯是以宫（C）为始发律，可向上生纯五度得到G，又可向下生纯五度得到F，所以是双向生律。都是五度相生，其实得到的音不完全一致。
关于《大戴礼记》那段记载，也有两个问题要简单解释下。第一，“上下清浊”是什么呢？其实就是音高。古人不是说“音高”的，而是说“清浊”，低音就是浊音，高音就是清音，低音就是下，高音就是上，也有时候会用“大细”来表示，低音就是大，高音就是细，比如《国语·周语下》：“大不逾宫，细不过羽。”这十二律就是用《管子》所说的“三分损益法”法计算出来的。《管子》记载尽管表述为了“声”，事实上是“生律法”。用三分先损后益的方法，从黄钟开始不断乘三分之二和三分之四，就可以得出黄钟、林钟、太簇、南吕、姑洗、应钟、蕤宾、大吕、夷则、夹钟、无射、仲吕。《吕氏春秋·音律篇》说的“黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕”，就是这个意思。
第二，为何《大戴礼记》说“圣人截十二管”，而笔者却在前文用琴弦的比值关系？原因是同样的比值，在弦乐中，要比管乐简单。我至今无法理解，为何古人要用管乐定律而不是弦乐。为什么管乐会复杂呢？这是因为管乐吹奏的时候会出现一个问题，就是吹奏时产生的空气柱的长度，实际上是长于管长的，因此必须搞清楚空气柱与管长的差值，才能使律精准，所以用管乐定律的误差是高于弦乐的。而搞清空气柱长度与管长差值这个事，就叫“管口校正”，这是在荀勖笛律时才实现的事情。我们都知道，朱载堉发明了十二平均律，可是大家不一定知道，朱载堉还干了件事，就是发现了“管口校正”的正确途径，解决了以往“管口校正”的误差。当然，管律不如弦律精准，是古人就发现的事，比如《汉书·律历志》就说京房是“均其中弦，令与黄钟相得”。到唐代时，已经普遍开始用弦律了，并出现了以琵琶为代表的乐律实践。
到目前为止，大家应该基本就能把声和律搞清楚了。上文所提及的“声”和“律”是可以相配的，让声符合律的规范就叫“律和声”。当声和律相配的时候，就可以产生调式。比如以黄钟为宫音的调式就是黄钟宫调。十二律都可以作为宫调，古人将这种十二律皆可为宫调的现象叫“旋相为宫”。可是，三分损益律造成了一个问题，就是旋宫转调的问题不能解决，因为仅用三分损益法不断生律，是没有办法得到纯八度的。这也就是中国传统律学存在的黄钟不能还原的问题。为达到黄钟还原的目的，古人不得不突破十二律，到了京房时出现了六十律，至钱乐之、沈重甚至出现了三百六十律。还有人另辟蹊径，就不再继续升律了，而是在十二律内调整律高，因此出现了何承天的新律，刘焯律等。到了唐代的祖孝孙、张文收开始脱离单纯的三分损益，进行了实用的调整，于是有了十二钟八十四调旋宫法。得到了实际上的旋宫转调。这一问题在数学上的解决，则要到朱载堉真正发明十二平均律。
谈到此，我们才能去讲，十二平均律是如何实现的。朱载堉实现十二平均律的方式是缩小三分损益律的分母数。上文已经说明，三分损益律用到的比值是2：3和4:3，我们将其扩大为500000000:750000000与1000000000:750000000。当朱载堉将750000000缩小到749153538时，得到500000000:749153538和1000000000:749153538这两个比例关系后，再去生律，就能实现回宫了。除外，朱载堉还用了另一个办法，也实现了回宫。黄钟是一根琴弦的长度，高一个八度就是两根黄钟琴弦的长度，这个大家是都能想到的。于是朱载堉就发明了用算盘开方的方法，并改用倍黄钟的弦幂开方来计算。2是倍黄钟，开2次方得到1.414213……，就是倍蕤宾。倍蕤宾再开方，得到1.189207……，即倍南吕。倍南吕再开3方，得到2的开12次方，即1.059468……，就是倍应钟。这个1.059468……就是一个半音的频率倍数，将这个倍数连续自乘12次就是12个半音分别的频率倍数，最终得到一个八度，也就是2。现在大家理解朱载堉为啥能发明十二平均律了吧？就是因为他算盘打得太好了。
由於剛剛在另一帖聊天涉及到樂律問題，我發一下這篇舊文。這篇文章是我很多年前寫的了，屬於普及性質的舊文。儘管是普及性質，不過對完全不熟悉音樂的人而言，也可能讀起來會稍微有點費勁。
待我好好读一下
琴棋书画样样精通啊
有筆誤，更正一下：2的4次方、2的12次方當為開4次方、開12次方。
可以直接改发过的帖子
琴音乐，建筑，样样精通，六度世界有高人
謝謝提醒
不能理解，朱载堉怎么能精确到749153538这样的数字的，有现代科学实验的感觉了，几乎难以想象！
请假一下，宫商角徵羽五声和平上去入五声有关系吗？
我这种音乐盲看了一头雾水。
這得看「有關係」指什麼。宮商角徵羽是音樂的音級與階名，類似西方音樂中的do、re、mi、fa、sol、la、si，平上去入四聲是漢語的聲調。從物理角度，宮商角徵羽是音高，和發聲體顫動頻率有關，而漢語聲調的調值也主要和音高有關，此二者都是相對音高，如不同調式樂器，宮商角徵羽的實際音高不同，男低音和女高音說出的平上去入的實際音高也不同。若唱歌就存在漢語聲調的起伏變化與音樂旋律的配合問題。否則可能漢語聲調唱出來就亂了。且不同地方方言聲調不同，現在的普通話沒入聲，但平聲分陰平和陽平，而比較複雜的廣州有九個聲調，玉林有十個聲調，不僅有入聲，如玉林入聲還分上陰入、下陰入、上陽入、下陽入。
了解了，两者应该是不同的。宫商角徵羽是声音的高低，背后的物理原理是震动的频率，而平上去入是讲声音变化的趋势。高音也可以分出平上去入，低音也可以分出平上去入，甚至更多声调。这是描述声音的两个不同维度。
云哥您那么厉害么？
对于这些，我这咸鱼。。。别说翻身了，抬头都抬不了
经常来听课
对于学习音律这个事呢。
云哥，您跟林婉清都是高人。
这高人吧，总的有个崇拜者对吧。
我当那个崇拜者就好了。
继续躺着当咸鱼
我和你一起崇拜高人。
不行，云哥。
我已经是咸鱼了。
您不能跟咸鱼一路。
高人是高山，您是比高人矮点的山。
我躺着仰慕两座大山
咸鱼，是想有朝一日要翻身啊
先做一阵子咸鱼，仰慕大佬。有机会再翻身